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一、高考试题
椭圆C： = 1(a> b > 0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=， |PF2| = .
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若直线l过圆x2 y2 4x - 2y = 0 的圆心M，交椭圆C于A，B两点，窃读，B关于点M对称，求直线l的方程.
二、解题思路
第(1)题的解法不再赘述，答案是： = 1，在此基础上研究第(2)题的解法.
1. 运用方程组的思路
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，已知圆的方程为(x 2)2 (y - 1)2 = 5，所以圆心M的坐标为(-2，1)，从而可设直线l的方程为：y= k(x 2) 1.
∴y= k(x 2) 1， =1.消y得
(4 9k2)x2 (36k2 18k)x 36k2 36k - 27 = 0.
∵ A，B关于点M对称，
∴ = - = -2，解得 k =.
∴ 直线l的方程为：8x - 9y 25 = 0.
2. 运用“点差法”的思路
已知圆的方程为(x 2)2 (y- 1)2= 5，所以圆心M的坐标为(-2，1).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意x1≠x2且
= 1(1) = 1(2)
由(1)- (2)得
= 0(3)
由于A，B关于点M对称，所以x1 x2 = -4，y1 y2 = 2，代进(3)得 k1 = =，所以，直线l的方程为：8x - 9y 25 = 0. 经检验，所求直线方程符合题意.
三、对两种思路的熟悉
思路1运算较复杂，尤其是消元得到方程这一步，很多学生是不能顺利过关的；思路2运算较简洁，学生易把握. 对于两种思路都必须分析到：直线l经过圆心，而且圆心是弦的中点. 这些方法在考题中经常有所涉及.
四、对“点差法”的思考
1. “点差法”使用条件的反思
“点差法”使用起来较为简洁，那么使用“点差法”的条件是什么？
假设一条直线与曲线mx2 ny2 = 1(n，m是不为零的常数，且不同时为负数)相交于A，B两点，设A(x1，x2)，B(x2，y2)，则mx12 ny12= 1，mx22 ny22 = 1， 两式相减有：m(x1 - x2)(x1 x2) = -n(y1 - y2)(y1 y2). 其中x1 x2与y1 y2和线段AB的中点坐标有关； 为AB的斜率. 由此可见，知道其中一个可以求出另外一个，意思是说：要用“点差法”，需知道AB的中点和AB的斜率之一才可求另一个. 然后进行扼要的检验.
2. 先容一种处理中点弦题目时的巧妙的独到的解法
例题 已知双曲线x2 - = 1，问是否存在直线l，使得M(1，1)为直线l被双曲线所截弦AB的中点.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
由题意得M(1，1)为显读B的中点，可设A(1 s，1 t)，B(1- s，1- t)，(s，t∈T订，由于A，B，M不重合可知， s，t不全为零. 又点A，B在双曲线x2-= 1上，将点的坐标代进方程得
(1 s)2-= 1(1)(1- s)2-= 1(2)
(1) (2) 可得s2= t2 (3)
(1)- (2) 可得t = 2s (4)
将(4)代进(3)可得s= 0，t= 0，不可能，故不存在这样的直线.
这里我们回纳一下解题思路：
已知直线l与圆锥曲线：ax2 by2 = 1(a，b使得方程为圆锥曲线)相交于A，B两点，设中点为M(m，n)，求直线l方程.
