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一、填空题
A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种.答案60
2. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________ 种.解析若1，3不同色，则1，2，3，43A=72(种);若1，3同色，有CC=24(种)，根据分类计数原理可知，共有72 24=96种涂色法.答案96
3.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有________种.
解析 若四人中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有AA=12(种);若四人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：CAA=24(种)，由分类计数原理知不同的选派方案共有36种.
答案 36
4.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种.解析 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法，由分类计数原理共A CA=60(种)方法.
答案 60
5.有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答).
解析 由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A=840(种).
答案 840
某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展.某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________.解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与其他两人分配到其他三个社团中，有A种方法，这时共有CA种参加方法;(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有种方法，这时共有A种参加方法.综合(1)(2)，共有CA A=180(种)参加方法.答案180
7.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答).
解析 当每个台阶上各站1人时有CA种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有AC CCC=210 126=336(种).
答案 336
.某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字).
解析 先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C种，最后安排其他两辆车共有A种方法，不同的调度方法为C·C·A=120(种).
答案 120
刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定有两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法共有________.解析先将两位爸爸排在首尾，再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列，最后将两位小孩内部进行排列，故这6人入园的顺序排法种数共有AA=24.答案24
10.以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有________个.
解析 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C=210(个)四面体.其中四点在同一平面内的有三类：
(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C个.
(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C个.
(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如ABE1C1)，这样共面的四点共有2C个.
所以C-2C-C-2C=180(个).
答案 180二、解答题
.在10名演员中5人能歌8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法?
解 本题中的“双面手”有3个，仅能歌的2人，仅善舞的5人.把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔;(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔.故选法种数是CC CC=245(种). 某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法?
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法?
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法?
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法?
解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C=816(种);
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C=8 568(种);
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CC C=6 936(种);
(4)方法一 (直接法)：
至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：
一内四外;二内三外;三内二外;四内一外，
所以共有CC CC CC CC=14 656(种).
方法二 (间接法)：
由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C-(C C)=14 656(种).
已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止.(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，共有多少种不同的测试?(2)若至多测试6次就能找到4件次品，则共有多少种不同的测试方法?解(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试.第2次测到第一件次品有4种抽法;第8次测到最后一件次品有3种抽法;第3至第7次抽取测到最后两件次品共有种抽法;剩余4次抽到的是正品，共有AA=86 400(种)抽法.(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有种5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A种;检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A 种.由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为 4A 4A =8 520..设整数n≥4，在集合{1,2，3，…，n}中任取两个不同元素a，b(a>b)，记An为满足a b能被2整除的取法种数.
(1)当n=6时，求An;
(2)求An.
解 (1)当n=6时，集合中偶数为2,4,6;奇数为1,3,5.
要使a b为偶数，则a，b同奇或同偶，共有C C=6(种)取法，即A6=6.
(2)当n=2k(k≥2，kN*)即k=时，集合为{1,2,3，…，2k}.记A={1,3,5，…，2k-1}，B={2,4,6，…，2k}，因为a b能被2整除，所以a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应取自同一个集合A或B，
故有C C= =k(k-1)种取法.
即An==;
当n=2k 1(k≥2，kN*)时，
即k=，集合为{1,2，3，…，2k 1}.
将其分为两个集合：奇数集A={1,3，…，2k 1}，偶数集B={2,4，…，2k}.
因为a b能被2整除，所以a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应该取自同一个集合A或B.
故有C C= =k2种取法，
即An=2=.所以An=
