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三角形的半角定理
做三角形内切圆，在AB,AC,BC边上的切点分别为D，E，F l=(a b c)/2
则有r=(l-a)tan(A/2)=(l-b)tan(B/2)=(l-c)tan(C/2)
半角定理还可以写成tanA/2=[1/(s-a)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，tanB/2=[1/(s-b)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，tanC/2=[1/(s-c)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。
其中A、B、C为三角形内角的符号，s=1/2(a b c)
证明：由余弦定理cosA=(b^2 c^2-a^2)/2bc，得
1-cosA=(2ab-b^2-c^2 a^2)/2bc=[a^2-(b-c)^2]/2bc=(a b-c)(a-b c)/2bc
1 cosA= (2ab b^2 c^2-a^2)/2bc=[(b c)^2-a^2]/2bc=(a b c)(b c-a)/2bc
设a b c=2s，那么-a b c=2(s-a)，a-b c=2(s-b)，a b-c=2(s-c)。
因此上面结论可以写成：1-cosA=2(s-c)2(s-b)/2bc=2(s-b)(s-c)/bc
1 cosA=2s2(s-a)/2bc=2s(s-a)/bc。
因为A/2是锐角，所以把上面所得到的结果代入公式tanA/2=√(1-cos
A)/(1 cosA)，就可以得到tanA/2=√[(s-b)(s-c)/s(s-a)]。
又因为s-a>0，所以上面的式子还可以写成：tanA/2=√[(s-a)(s-b)(s-c)/s(s-a)^2]=[1/(s-a)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。由此便证明了半角定理。
