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三、解答题(共80分)
15.(12分)根据下列条件，求直线方程：
经过点A(3,0)且与直线2x y-5=0垂直.
16.(12分)已知在RtABC中，B为直角，AB=a，BC=b.建立适当的坐标系.证明：斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.
17.(14分)求证：不论m为什么实数，直线(m-1)x (2m-1)y=m-5都通过一定点.
18.(14分)在直线l：3x-y-1=0上存在一点P，使得：P到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小.求此时的距离之和.
19.(14分)光线从点Q(2,0)发出，射到直线l：x y=4上的点E，经l反射到y轴上的点F，再经y轴反射又回到点Q，求直线EF的方程.
20.(14分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图3-1所示).将矩形折叠，使点A落在线段DC上.
(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程;
(2)当-2 ≤k≤0时，求折痕长的最大值.
图3-1
第三章自主检测
1.C 2.B 3.A 4.A 5.B
6.C 解析：解方程组可得交点(2,3)，A∩B={(2,3)}，
7.B 8.D
9.A 解析：作B(2,2)关于x轴的对称点B1(2，-2)，连接AB1交x轴于P，点P即为所求.由直线AB1的方程：=，得2x y-2=0.令y=0，则x=1.则点P的坐标为(1,0).
10.B
11. 12.x 2y-3=0
13.y=-x或x y 3=0
14.4x 3y-6=0 解析：方法一：解方程组得交点P(0,2).∵直线l3的斜率为，直线l的斜率为-.直线l的方程为y-2=-(x-0)，即4x 3y-6=0.
方法二：设所求直线l的方程为x-2y 4 λ(x y-2)=0.由该直线的斜率为-，求得λ的值11，即可以得到l的方程为4x 3y-6=0.
15.x-2y-3=0
16.证明：取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如图D66，三个顶点坐标分别为A(a,0)，B(0,0)，C(0，b)，
图D66
由中点坐标公式，得斜边AC的中点M的坐标为.
|MA|==，
|MB|==，
|MC|==，
|MA|=|MB|=|MC|.
17.证法一：取m=1，得直线方程y=-4;
再取m=，得直线方程x=9.
从而得两条直线的交点为(9，-4).
又当x=9，y=-4时，有9(m-1) (-4)(2m-1)=m-5，
即点(9，-4)在直线(m-1)x (2m-1)y=m-5上.
故直线(m-1)x (2m-1)y=m-5都通过定点(9，-4).
证法二：(m-1)x (2m-1)y=m-5，
m(x 2y-1)-(x y-5)=0.
则直线(m-1)x (2m-1)y=m-5都通过直线x 2y-1=0与x y-5=0的交点.
由方程组解得即过(9，-4).
直线(m-1)x (2m-1)y=m-5通过定点(9，-4).
证法三：(m-1)x (2m-1)y=m-5，
m(x 2y-1)=x y-5.
由m为任意实数，知：关于m的一元一次方程m(x 2y-1)=x y-5的解集为R，
解得
直线(m-1)x (2m-1)y=m-5都通过定点(9，-4).
18.解：设点B关于直线3x-y-1=0的对称点为B′(a，b)，如图D67，
图D67
则=-，且3·--1=0.
解得a=，b=，B′.
当 最小时，
===.
19.解：设Q关于y轴的对称点为Q1，则Q1的坐标为(-2,0).
设Q关于直线l的对称点为Q2(m，n)，则QQ2中点为G，点G在直线l上.
=4，
又QQ2⊥l，=1.
由，得Q2(4,2).
由物理学知识可知，点Q1，Q2在直线EF上，
kEF=kQ1Q2=.
直线EF的方程为y=(x 2)，即x-3y 2=0.
20.解：(1) 当k=0时，此时点A与点D重合， 折痕所在的直线方程y=.
当k≠0时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为G(a,1)，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，
有kOG·k=-1·k=-1a=-k，
故点G坐标为G(-k,1)，
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为M，
折痕所在的直线方程y-=k，即y=kx .
由，得折痕所在的直线方程为y=kx .
(2)当k=0时，折痕的长为2;
当-2 ≤k<0时，折痕直线交BC于点M，交y轴于点N，
|MN|2=22 2=4 4k2≤4 4×(7-4 )=32-16 ，
折痕长度的最大值为=2(-).
而2(-)>2 ，故折痕长度的最大值为2(-).
