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换元法
以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。
例2求函数y=x-3 √2x 1的值域。
点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的值,确定原函数的值域。
解:设t=√2x 1(t≥0),则
x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3 t=1/2(t 1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。
点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习:求函数y=√x-1–x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}