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元素分析法因为集合中元素具有确定性、互异性、无序性,因此可以从元素特征、集合运算、特殊集合等三个方面进行元素分析,找到解题的突破口.1.利用元素特征分析例1集合M={y|y=x2-1,x∈R},集合N={x|y=3-x2,x∈R},则M∩N=()A.{(-2,1),(2,1)}B.{t|0≤t≤3}C.{t|-1≤t≤3}D.解析集合M中的元素是y,它表示函数y=x2-1的y的取值范围,从而M={y|y≥-1},即表示大于等于-1的所有实数.集合N中的元素是x,它表示函数y=3-x2中x的取值范围,从而N={x|-3≤x≤3},即表示在-3和3之间的所有实数.易得M∩N={t|-1≤t≤3}.因此,正确答案为C.评注同学们在求解此题时,常常会误认为是求两条曲线的交点.搞清楚集合中元素的特征,运用元素分析.
高一数学集合和函数-例题1.已知函数f(x)=log3 1-m(x-2)/x-3 ，对定义域内的任意x都有f(2-x) f(2 x)=0成立.
(1)求实数m的值
(2)当x∈(3,4)时，求f(x)的取值范围.
答案：
函数的定义域是1-m(x-2)>0
f(2-x)=log3(1 mx)
f(2 x)=log3(1-mx)
log3(1 mx) log3(1-mx)=log3(1-m^2x^2)=0
1-m^2x^2=1
m=0
函数f(x)=0
,f(x)=0符合对定义域内的任意x都有f(2-x) f(2 x)=0成立
2.设二次函数f(x)=ax^2 bx c(a,b,c∈R)满足下列条件：
①当x∈R时，f(x)的最小值为0，且f(x-1)=f(-x-1)成立;
②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x-1| 1恒成立。
(1)求f(1)的值;(2)求f(x)的解析式;
(3)求最大的实数m(m>1)，使得存在实数t，只要当x∈[1,m]，就有f(x t)≤x成立。
答案：
(1)∵当x∈(0，5)时，x≤f(x)≤2|x-1| 1恒成立
∴1≤f(1)≤1
∴f(1)=1;
(2)∵当x∈R时，f(x)的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称;
∴ -b/2a=-1，f(-1)=a-b c=0
又∵f(1)=a b c=1
∴ a=1/4，b=1/2，c=1/4
∴ f(x)=1/4(x 1)^2;
(3)因f(x-4)=f(2-x)，则函数的图象关于x=-1对称，∴ -b/2a=-1，b=2a，
由(3)，x=-1时，y=0，即a-b c=0，由(1)得，f(1)≥1，由(2)得，f(1)≤1，
则f(1)=1，即a b c=1.又a-b c=0，则b= 1/2，a= 1/4，c= 1/4，故f(x)= 1/4x^2 1/2x 1/4.
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f(x t)≤x.
取x=1，有f(t 1)≤1，即 1/4(t 1)^2 1/2(t 1) 1/4≤1，解得-4≤t≤0，
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有f(t m)≤m，即 1/4(t m)^2 1/2(t m) 1/4≤m.
化简有：m^2-2(1-t)m (t^2 2t 1)≤0，解得1-t-根号下-4t≤m≤1-t 根号下-4t，
故m≤1-t- 根号下-4t≤1-(-4) 根号下-4(-4)=9
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，
恒有f(x-4)-x= 1/4(x^2-10x 9)= 1/4(x-1)(x-9)≤0.
∴m的最大值为9.
3.已知函数f(x)=3sin(kx/5 π/3)(k>0，k∈z)有一条对称轴x=π/6，且在任意两个整数之间至少出现一次最大值和最小值，求k的最小取值。
答案
由题当x=π/6时，f(x)=±3
即(k/5)*(π/6) π/3=2mπ±π/2
即k= 60m 5或k=60m-25 (m∈z)
