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1.用数学归纳法证明不等式1 … >(nN*)成立，其初始值至少应取()
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：选B 左边=1 … ==2-，代入验证可知n的最小值是8.
2.用数学归纳法证明“1 a a2 … an 1=(a≠1)”，在验证n=1时，左端计算所得的项为()
A.1 B.1 aC.1 a a2 D.1 a a2 a3
解析：选C 等式的左端为1 a a2 … an 1，当n=1时，左端=1 a a2.
3.利用数学归纳法证明不等式1 … 的过程中，由n=k推导n=k 1时，不等式的左边增加的式子是____________.
解析：不等式的左边增加的式子是 -=，故填.
答案：
8.已知数列{an}满足a1=1，an 1=an 1(nN*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an=________.
解析：a1=1，a2=a1 1=，a3=a2 1=，a4=a3 1=.猜想an=.
答案：
9.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=________;当n>4时，f(n)=________________(用n表示).
解析：f(3)=2，f(4)=f(3) 3=2 3=5，
f(n)=f(3) 3 4 … (n-1)=2 3 4 … (n-1)
=(n 1)(n-2).
答案：5 (n 1)(n-2)
10.用数学归纳法证明下面的等式：
12-22 32-42 … (-1)n-1·n2=(-1)n-1.
证明：(1)当n=1时，左边=12=1，右边=(-1)0·=1，原等式成立.
(2)假设n=k(kN*，k≥1)时，等式成立，
即有12-22 32-42 … (-1)k-1·k2=(-1)k-1.
那么，当n=k 1时，则有12-22 32-42 … (-1)k-1·k2 (-1)k·(k 1)2
=(-1)k-1 (-1)k·(k 1)2=(-1)k·[-k 2(k 1)]=(-1)k.
n=k 1时，等式也成立，
由(1)(2)知对任意nN*，有12-22 32-42 … (-1)n-1·n2=(-1)n-1.
11.设数列{an}满足a1=3，an 1=a-2nan 2，n=1,2,3，….
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明.
解：(1)a2=5，a3=7，a4=9，猜想an=2n 1.
(2)Sn==n2 2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n=6.
下证：n≥6(nN*)时都有2n>n2 2n.
n=6时，26>62 2×6，即64>48成立;
假设n=k(k≥6，kN*)时，2k>k2 2k成立，那么2k 1=2·2k>2(k2 2k)=k2 2k k2 2k>k2 2k 3 2k=(k 1)2 2(k 1)，即n=k 1时，不等式成立;
由可得，对于任意的n≥6(nN*)都有2n>n2 2n成立.
12.(2015·舟山模拟)若不等式 … >对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论.
解：当n=1时， >，即>，所以a<26.
而a是正整数，所以取a=25，下面用数学归纳法证明
… >.
(1)当n=1时，已证得不等式成立.
(2)假设当n=k(kN*)时，不等式成立，
即 … >.
则当n=k 1时，有 …
= … -
> .
因为 -=-
==>0，
所以当n=k 1时不等式也成立.由(1)(2)知，对一切正整数n，都有
… >，所以a的最大值等于25.
[冲击名校]
已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当nN*时，an 2=an 1 an.求证：数列{an}的第4m 1项(mN*)能被3整除.
证明：(1)当m=1时，a4m 1=a5=a4 a3=(a3 a2) (a2 a1)=(a2 a1) 2a2 a1=3a2 2a1=3 0=3.即当m=1时，第4m 1项能被3整除.故命题成立.
(2)假设当m=k时，a4k 1能被3整除，则当m=k 1时，
a4(k 1) 1=a4k 5=a4k 4 a4k 3=2a4k 3 a4k 2=2(a4k 2 a4k 1) a4k 2=3a4k 2 2a4k 1.
显然，3a4k 2能被3整除，又由假设知a4k 1能被3整除.所以3a4k 2 2a4k 1能被3整除.
即当m=k 1时，a4(k 1) 1也能被3整除.命题也成立.
由(1)和(2)知，对于任意nN*，数列{an}中的第4m 1项能被3整除.
