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新东方名师孟祥飞解析海淀高三数学期中考试重点

发布时间:2017-01-05 来源:中学网校 发布人:继续

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  导数基本问题概述:

  一、求单调区间

  (1)整体解题策略是1求导去正(常见通分去恒正分母,提取去恒正指数)求根(即导数图像的交点,也为极值点);2分类讨论(开口、斜率,根存在、大小,定义域);3作导数图看正负写单调区间。

  (2)如果导数为二次函数,最重要的为两种导数根的讨论(大小性与存在性):

  (i)如果求根时不能因式分解,需要套求根公式(或者没有一次项的二次情况需要移项开方),这种根称之为无理根,无理根讨论其存在性,被开方数(即德尔塔)大于零则根存在,画导数图像出现两个交点,图像正负看图可得;如果被开方数小于等于零,根不存在或两根相等,画导数图像可知导数恒正(开口向下则恒负)。讨论存在性分两类。

  (ii)如果求根时能因式分解,需要十字相乘得根(或者没有常数项的二次情况需要提取x因式分解),这种根称之为有理根,有理根讨论大小性;两根不等的两类,画导数图像出现两个交点,图像正负看图可得;如果两根相等,画导数图像可知导数恒正(开口向下则恒负)。讨论大小性分三类。

  (4)求单调区间难点在于,如果开口、斜率,根存在、大小,定义域有多件事情需要讨论,会难度较大,此时的解决方案为求出分界点,采用分界点法进行分类讨论。

  二、区间最值问题:

  (1)整体解题策略,可以看做是求单调区间的延续,先讨论单调性,然后利用单调性换原原函数图像,最后数形结合求出最值。

  (2)区间最值其中一个难点是出现了“区间”作为函数的人为定义域,所以需要讨论定义域。另外在人为定义域“区间”下,有些题目还可以增加求导去正的可能性。

  (3)区间最值,在得到原函数图像后,可能会出现比大小的讨论。比大小的讨论会出现在两种情景中。

  (i)如果得到区间内图象为“V”型的单极值函数图象,求最大值则需比较端点函数的大小(倒“V”型则相似)

  (ii)如果得到区间内图象为“N”型的双极值函数图象,无论求最大值还是最小值都需要比较一侧端点值与极值的大小。

  三、不等式成立问题:

  (1)不等式问题可以理解为区间最值的延续,不等式成立,转化最值成立,求出最值后代入不等式,求解不等式解出参数即可,注意最终整合时候的先交后并,注意任意存在所求最值不一样,从理解角度出发并无太大难处。

  (2)不等式成立的有些题目可能需要变形,有些题目需要变形后在求最值,常见变形包含:双侧单个变量的移项到一侧的变形,化简变形,参变分离变形。

  (3)不等式成立题目处理有时可以理解为两个图象的几何意义,有时候称之为转化初等函数法。

  (4)不等式成立题目在求最值的时候,如果遇见比大小的题目往往不需要比较大小,因为我们只需使得不等式成立即可,这样的话可以让需比较大小的函数值都成立“取交集”(任意型不等式),或成立“取并集”(存在型不等式)

  四、根、零点分布问题:

  (1)方程根等价于移项到一侧的函数零点,等价于图像与x轴交点(有时也可以理解为垂直于y轴的直线的交点),所以实根分布问题可以看做是问题一求单调区间的另一种延续,先求导讨论单调性,然后画出原函数图像,按照数形结合的思想使得极值与端点值异号,从图中即可发现根、零点分布成立了。

  (2)根、零点的问题类似于不等式成立的问题,有可能需要变形,有些题目需要变形后在求单调性作图,双侧单个变量的移项到一侧的变形,化简变形,参变分离变形。

  (3)根、零点的问题类似于不等式成立的问题,处理有时可以理解为两个图象的几何意义,有时候称之为转化初等函数法。

  (4)由于不等式成立还可以理解为函数 图像在x轴上方或下方,某些不等式的题目也可以采用实根分布的做法来求解。


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