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高一数学《方程的根与函数的零点》教案

发布时间:2016-05-12 来源:新东方在线 发布人:继续

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§3.1.1  方程的根与函数的零点
  学习目标
1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;
2. 掌握零点存在的判定定理.
  学习过程
一、课前准备
预习教材P86~ P88,找出疑惑之处)
复习1:一元二次方程 bx c=0 (a 0)的解法.
  判别式 =              .
当     0,方程有两根,为             ;
当     0,方程有一根,为             ;
当     0,方程无实根.
复习2:方程 bx c=0 (a 0)的根与二次函数y=ax bx c (a 0)的图象之间有什么关系?
判别式 一元二次方程 二次函数图象
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一:函数零点与方程的根的关系
问题:
① 方程 的解为           ,函数 的图象与x轴有     个交点,坐标为              .
② 方程 的解为         ,函数 的图象与x轴有     个交点,坐标为              .
③ 方程 的解为         ,函数 的图象与x轴有     个交点,坐标为              .
根据以上结论,可以得到:
一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的             .
你能将结论进一步推广到 吗?

新知:对于函数 ,我们把使 的实数x叫做函数 的零点(zero point).
反思:
函数 的零点、方程 的实数根、函数  的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?

试试:
(1)函数 的零点为              ;  (2)函数 的零点为              .


小结:方程 有实数根 函数 的图象与x轴有交点 函数 有零点.
探究任务二:零点存在性定理
问题:
① 作出 的图象,求 的值,观察 和 的符号
② 观察下面函数 的图象,

在区间 上      零点;       0;
在区间 上      零点;       0;
在区间 上      零点;       0.
新知:如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 <0,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个c也就是方程 的根.
讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.

※ 典型例题
例1求函数 的零点的个数.

变式:求函数 的零点所在区间.

小结:函数零点的求法.
① 代数法:求方程 的实数根;
② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
※ 动手试试
练1. 求下列函数的零点:
(1) ;
(2) .


练2. 求函数 的零点所在的大致区间.
三、总结提升
※ 学习小结
①零点概念;②零点、与x轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理
※ 知识拓展
图象连续的函数的零点的性质:
(1)函数的图象是连续的,当它通过零点时(非偶次零点),函数值变号.
推论:函数在区间 上的图象是连续的,且 ,那么函数 在区间 上至少有一个零点.
(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.
  学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(    ).
  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 函数 的零点个数为(    ).
  A.  1    B. 2     C.  3      D. 4
2.若函数 在 上连续,且有 .则函数 在 上(    ).
A. 一定没有零点     B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点     D. 零点情况不确定
3. 函数 的零点所在区间为(    ).
A.     B.     C.     D. 
4. 函数 的零点为              .
5. 若函数 为定义域是R的奇函数,且 在 上有一个零点.则 的零点个数为     .
  课后作业
1. 求函数 的零点所在的大致区间,并画出它的大致图象.


2. 已知函数 .
(1) 为何值时,函数的图象与 轴有两个零点;
(2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求 值.

 

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