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幂函数检测题

发布时间:2016-05-13 来源:新东方在线 发布人:继续

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1.下列幂函数为偶函数的是(  )
A.y=x12           B.y=3x
C.y=x2   D.y=x-1
解析:选C.y=x2,定义域为R,f(-x)=f(x)=x2.
2.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是(  )
A.5-a<5a<0.5a   B.5a<0.5a<5-a
C.0.5a<5-a<5a   D.5a<5-a<0.5a
解析:选B.5-a=(15)a,因为a<0时y=xa单调递减,且15<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.
3.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R,且为奇函数的所有α值为(  )
A.1,3   B.-1,1
C.-1,3   D.-1,1,3
解析:选A.在函数y=x-1,y=x,y=x12,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故α=1,3.
4.已知n∈{-2,-1,0,1,2,3},若(-12)n>(-13)n,则n=________.
解析:∵-12<-13,且(-12)n>(-13)n,
∴y=xn在(-∞,0)上为减函数.
又n∈{-2,-1,0,1,2,3},
∴n=-1或n=2.
答案:-1或2

1.函数y=(x+4)2的递减区间是(  )
A.(-∞,-4)   B.(-4,+∞)
C.(4,+∞)   D.(-∞,4)
解析:选A.y=(x+4)2开口向上,关于x=-4对称,在(-∞,-4)递减.
2.幂函数的图象过点(2,14),则它的单调递增区间是(  )
A.(0,+∞)   B.[0,+∞)
C.(-∞,0)   D.(-∞,+∞)
解析:选C.

幂函数为y=x-2=1x2,偶函数图象如图.
3.给出四个说法:
①当n=0时,y=xn的图象是一个点;
②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1);
③幂函数的图象不可能出现在第四象限;
④幂函数y=xn在第一象限为减函数,则n<0.
其中正确的说法个数是(  )
A.1   B.2
C.3   D.4
解析:选B.显然①错误;②中如y=x-12的图象就不过点(0,0).根据幂函数的图象可知③、④正确,故选B.
4.设α∈{-2,-1,-12,13,12,1,2,3},则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值的个数是(  )
A.1   B.2
C.3   D.4
解析:选A.∵f(x)=xα为奇函数,
∴α=-1,13,1,3.
又∵f(x)在(0,+∞)上为减函数,
∴α=-1.
5.使(3-2x-x2)-34有意义的x的取值范围是(  ) 
A.R   B.x≠1且x≠3
C.-3<x<1   D.x<-3或x>1
解析:选C.(3-2x-x2)-34=143-2x-x23,
∴要使上式有意义,需3-2x-x2>0,
解得-3<x<1.
6.函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m=(  )
A.2   B.3
C.4   D.5
解析:选A.m2-m-1=1,得m=-1或m=2,再把m=-1和m=2分别代入m2-2m-3<0,经检验得m=2.
7.关于x的函数y=(x-1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3,-1,12)的图象恒过点________.
解析:当x-1=1,即x=2时,无论α取何值,均有1α=1,
∴函数y=(x-1)α恒过点(2,1).
答案:(2,1)
8.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是________.
解析:∵0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,∴y=xα在(0,+∞)为减函数.
答案:α<0
9.把(23)-13,(35)12,(25)12,(76)0按从小到大的顺序排列____________________.
解析:(76)0=1,(23)-13>(23)0=1,
(35)12<1,(25)12<1,
∵y=x12为增函数,
∴(25)12<(35)12<(76)0<(23)-13.
答案:(25)12<(35)12<(76)0<(23)-13
10.求函数y=(x-1)-23的单调区间.
解:y=(x-1)-23=1x-123=13x-12,定义域为x≠1.令t=x-1,则y=t-23,t≠0为偶函数.
因为α=-23<0,所以y=t-23在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.又t=x-1单调递增,故y=(x-1)-23在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增.
11.已知(m+4)-12<(3-2m)-12,求m的取值范围.
解:∵y=x-12的定义域为(0,+∞),且为减函数.
∴原不等式化为m+4>03-2m>0m+4>3-2m,
解得-13<m<32.
∴m的取值范围是(-13,32).
12.已知幂函数y=xm2+2m-3(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,求y的解析式,并讨论此函数的单调性和奇偶性.
解:由幂函数的性质可知
m2+2m-3<0⇒(m-1)(m+3)<0⇒-3<m<1,
又∵m∈Z,∴m=-2,-1,0.
当m=0或m=-2时,y=x-3,
定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
∵-3<0,
∴y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,
又∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
∴y=x-3是奇函数.
当m=-1时,y=x-4,定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
∵f(-x)=(-x)-4=1-x4=1x4=x-4=f(x),
∴函数y=x-4是偶函数.
∵-4<0,∴y=x-4在(0,+∞)上是减函数,
又∵y=x-4是偶函数,
∴y=x-4在(-∞,0)上是增函数.

 

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