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考研数学:线性代数复习重点
第五章 特征值与特征向量
本章的基本要求有三点:
1、要会求特征值、特征向量。
对于具体给定的数值型矩阵,一般方法是通过特征方程∣λE-A∣=0求出特征值,然后通过求解齐次线性方程组(λE-A)ξ=0的非零解得出对应特征值的特征向量,而对于抽象的矩阵来说,在求特征值时主要考虑利用定义Aξ=λξ,另外还要注意特征值与特征向量的性质及其应用。
2、矩阵的相似对角化问题。
要求掌握一般矩阵相似对角化的条件,但是重点是实对称矩阵的相似对角化,即实对称矩阵的正交相似于对角阵。这块的知识出题比较灵活,可直接出题,也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A。另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的,这样还可以由已知特征值λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量,从而确定出矩阵A。
3、相似对角化之后的应用,主要是利用矩阵的相似对角化计算行列式或者求矩阵的方幂。
第六章 二次型
二次型这一章的重点实质还是实对称矩阵的正交相似对角化问题。这一章节要求大家掌握二次型的矩阵表示,用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个:
1、化二次型为标准形
主要是利用正交变换法化二次型为标准型,这是考研数学线性代数的重点大题题型,考生一定要掌握其做题的基本步骤。化二次型为标准型的实质也是实对称矩阵的正交相似对角化问题。
2、二次型的正定性问题
这一知识点主要考查小题。对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象矩阵的正定性判断可以通过利用标准形,规范形,特征值等得到证明,这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。
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