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5二、基本不等式
基本不等式是不等式的重要内容,也是历年高考重点考查的知识之一。它的应用几乎涉及高中数学的所有的章节,高考命题的重点是大小判断、求最值、求范围等.大多为填空题,试题的难度不大,近几年的高考试题中也出现了不少考查基本不等式的实际应用问题。
【例2】心理学家研究某位学生的学习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量为1,则x天后的存留量y?1=4x 4;若在t(t>0)天时进行第一次复习,则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计),其后存留量y?2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分,其斜率为a(t 4)?2(?a<?0),存留量随时间变化的曲线如图所示。当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时,则称此时刻为“二次复习最佳时机点”。
(1)若a=-1,t=5,求“二次复习最佳时机点”;
(2)若出现了“二次复习最佳时机点”,求a的取值范围。
分析关键是分析图像和理解题目所表示的含义,建立函数关系,再用基本不等式求最值。
解设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y,
由题意知,y?2=a(t 4)?2(?x-?t) 8t 4(?t>?4),
所以y=y?2-y?1=a(t 4)?2(x-t) 8t 4-4x 4(t>4)。
当a=-1,t=5时,
y=-1(5 4)?2(x-5) 85 4-4x 4
=-(x 4)81-4x 4 ?1≤?-2481 1=59,
当且仅当x=14时取等号,所以“二次复习最佳时机点”为第14天.
(2)y=a(t 4)?2(x-t) 8t 4-4x 4?=--a(x 4)(t 4)?2-?4x 4 8t 4-a(t 4)(t 4)?2?≤-2-4a(t 4)?2 ?8-at 4,当且仅当-a(x 4)(t 4)?2?=4x 4?即x=2-a(t 4)-4时取等号,
由题意2-a(t 4)-4>t,所以-4
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